Archimedes (287 - 212 p.n.e.) udowodnił, że obszar okręgu o promieniu r jest równy polu trójkąta prostokątnego wysokości r i podstawie równej obwodowi koła. Użył do tego trzech pomocniczych twierdzeń, aby następnie używając dowodu nie wprost dowieść, że pole koła jest równe polu trójkąta.

Twierdzenie1: Regularny może być wpisany w okrąg.

Dowód:
Zaczynamy od wpisania kwadratu w koło. Konstruujemy średnice koła. Następnie konstruujemy średnice, która jest do niej prostopadła. Tworzymy punkty przedcięcia średnic z kołem. Jeśli połączymy te punkty otrzymamy kwadrat wpisany wkoło. Następnie używając wpisanego wkoło kwadratu wpisujemy ośmiokąt w koło.Zaczynamy od wpisania kwadratu wkoło, następnie tworzymy punkty dzielące boki kwadratu ma połowy. Konstruujemy promienie przechodzące przez te punkty. Potem tworzymy punkty przecięcia promieni z kołem. Wreszcie łączymy wszystkie punkty na kole otrzymując wpisany w koło ośmiokąt.
Ogólnie, gdziemoże być wpisany w koło przez w pisanie w koło , podzielenia jego boków na połowy, przeprowadzenia przez otrzymane punkty promieni koła oraz połaczenie wszystkich punktów na na brzegu koła co prowadzi do otrzymania.
Zauważmy, że dla dużych n pole wpisanego jest bliskie ale wciąż mniejsze niż pole koła.
Im więcej boków ma wielokąt tym jego pole jest bardziej zbliżone do pola koła.

Twierdzenie3: Regularny może być opisany na okręgu.

Dowód:
Najpierw opisujemy na okręgu kwadrat.Znowu zaczynamy od konstrukcji prostopadłych średnic koła. Tworzymy punkty przecięcia tych średnic z kołem. Następnie konstruujemy styczne do kola w tych punktach. Tworzymy punkty przecięcia naszych stycznych i łączymy je tworząc kwadrat opisany na kole. Możemy użyć opisanego na kole kwadratu do opisania na kole ośmiokąta. By to zrobić konstruujemy przekątne naszego kwadratu, znajdujemy punkty przecięcia przekątnych z kołem i konstruujemy styczne do koła w tych punktach .Następnie tworzymy punkty przecięcia stycznych z kwadratem i łączymy je tworząc opisany na kole ośmiokąt.
Kontynuując ten proce możemy opisać na koleprzez opisanie.

Zauważmy, że dla dużych n pole wielokąta jest zbliżone ale wciąż mniejsze ni pole koła. Im więcej ścian ma wielokąt opisany na kole tym jego pole jest bliższe polu koła .
Do udowodnienia że obszar okręgu o promieniu r jest równy polu trójkąta prostokątnego wysokości r i podstawie równej obwodowi Archimedes użył powyższych dowodów.

Do udowodnienia że obszar okręgu o promieniu r jest równy polu trójkąta prostokątnego wysokości r i podstawie równej obwodowi Archimedes użył powyższych dowodów.
Niech pole koła będzie równe A i pole trójkąta równe T.
Wiemy, że są trzy możliwości: lublub. Archimedes użył dowodu nie wprost wykluczając przypadki, żei, więc jedyną możliwością jest, że.

W pierwszym przypadku zatem zakładamy, że. Wiemy teraz, że możemy wpisać w nasze koło, dobierając n tak, że pole figury będzie zbliżone do pola koła. Więc wpiszmy taką figurę i nazwijmy jej pole G, którego jest pomiędzy wartością pola trójkąta a wartością pola koła, co jest możliwe przy dobraniu odpowiedniego n, aby dojść do sprzeczności pokazujemy, że pole G jest większe niż pole trójkąta. Otóż z drugiego twierdzenia wiemy, że pole regularnego n-kąta jest równe gdzie h prostopadła do ściany odległość od środka figury, Q obwód figury. Teraz G jest wpisany w koło więc jego obwód Q jest mniejszy niż obwód okręgu więc, Q jest mniejsze niż C, więc jeśli jest mniejszy niż . Ponadto, ponieważ h jest prostopadłą odległością od centrum do boku widać, że h jest mniejsza niż promień okręgu tak, ponieważ h jest mniejsza niż r mamy, że , co w przeczy faktowi, iż G jest większy od T. Więc teraz, skoro mamy sprzeczność z naszym założeniem, teza że A jest większa niż T nie może być poprawna, więc musi mieć, że A jest mniejsza lub równa T.
W drugim przypadku, stosując dowodu nie wprost, jeśli założymy A jest mniej niż T i możemy znaleźć opisany regularny n-kąt, którego obszar jest pomiędzy A i T co prowadzi do sprzeczności jak to robiliśmy w poprzednim przypadku.
Więc jedyną możliwością jest to, że obszar okręgu jest równy obszarowi trójkąta, co kończy dowód.