Twiedzenie Cevy:

Jeżeli proste AD, BE, CF przechodzą przez wierzchołki trójkąta ABC i przecinają się w jednym punkcie lub są równoległe i przecinają boki AB, BC i CA lub ich przedłużenia odpowiednio w punktach D, E i F to:

0

Dowód:

Na potrzeby dowodu należy rozpatrzyć dwa przypadki: proste AD, BE, CF przecinają się w jednym punkcie i proste AD, BE, CF są równoległe.

1. Proste AD, BE, CF przecinają się w jednym punkcie

13

Do przeprowadzenia dowodu dorysujmy prostą KL przechodzącą przez A, taką, że:


1

Wtedy na podstawie cechy podobieństwa 13 kąt-kąt-kąt otrzymujemy:

2

więc:

3

(1)

oraz:

4

więc:

5

(2)

oraz:

6

więc:

7

(3)

oraz:

8

więc:

9

(4)

Po porównaniu równości (3) i (4) otrzymujemy:

10

Powyższy zapis równoważny jest:

11

(5)

Dzięki wymnożeniu stronami (1), (2), (5) otrzymujemy:

12

Co po skróceniu:

0


14


2. Proste BD, EA, CF są równoległe.

3

Na potrzeby dowody dorysujemy prostą KL przechodzącą przez A, taką że:

0

Na podstawie cechy podobienstwa 14 kat-kąt-kąt:

1

więc:

2

(6)

oraz:

3

więc:

4

(7)

Po przekształceniu powyższych równości otrzymujemy:

5

i

6

Co pozwala nam zapisać:

7

Po odpowiednich przekształceniach otrzymujemy:

8

Z rysunku wynika także:

9

(8)

a po przekształceniu:

10

(9)

Po wymnożeniu stronami otrzymujemy:

11

Co po skróceniu:

12

Powyższy zapis jest równoważny:

13

Tak więc wykazaliśmy słuszność Twierdzenia Cevy.


15

* Taką formę dowodu zaproponował S. I. Zetel w Geometrii trójkąta PZWS Warszawa 1964