Twiedzenie Cevy:

Jeżeli proste AD, BE, CF przechodzą przez wierzchołki trójkąta ABC i przecinają się w jednym punkcie lub są równoległe i przecinają boki AB, BC i CA lub ich przedłużenia odpowiednio w punktach D, E i F to:

Dowód:

Na potrzeby dowodu należy rozpatrzyć dwa przypadki: proste AD, BE, CF przecinają się w jednym punkcie i proste AD, BE, CF są równoległe.

1. Proste AD, BE, CF przecinają się w jednym punkcie

Do przeprowadzenia dowodu dorysujmy prostą KL przechodzącą przez A, taką, że:

Wtedy na podstawie cechy podobieństwa kąt-kąt-kąt otrzymujemy:

więc:

(1)

oraz:

więc:

(2)

oraz:

więc:

(3)

oraz:

więc:

(4)

Po porównaniu równości (3) i (4) otrzymujemy:

Powyższy zapis równoważny jest:

(5)

Dzięki wymnożeniu stronami (1), (2), (5) otrzymujemy:

Co po skróceniu:

2. Proste BD, EA, CF są równoległe.

Na potrzeby dowody dorysujemy prostą KL przechodzącą przez A, taką że:

Na podstawie cechy podobienstwa kat-kąt-kąt:

więc:

(6)

oraz:

więc:

(7)

Po przekształceniu powyższych równości otrzymujemy:

i

Co pozwala nam zapisać:

Po odpowiednich przekształceniach otrzymujemy:

Z rysunku wynika także:

(8)

a po przekształceniu:

(9)

Po wymnożeniu stronami otrzymujemy:

Co po skróceniu:

Powyższy zapis jest równoważny:

Tak więc wykazaliśmy słuszność Twierdzenia Cevy.

* Taką formę dowodu zaproponował S. I. Zetel w Geometrii trójkąta PZWS Warszawa 1964